《习题课――函数单调性与奇偶性的综合应用》函数PPT

《习题课——函数单调性与奇偶性的综合应用》函数PPT

第一部分内容：课标阐释

1.掌握利用函数奇偶性求函数解析式的方法.

2.理解并运用函数的单调性与奇偶性解决比较大小、求最值、解不等式等综合问题.

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习题课函数单调性与奇偶性的综合应用PPT，第二部分内容：自主预习

知识点、函数的单调性与奇偶性 

1.填空.

(1)函数的奇偶性是函数定义域上的概念,而函数的单调性是区间上的概念,因此在判定函数的单调性的时候,一定要指出函数的单调区间.

(2)在定义域关于原点对称的前提下,f(x)=x2n-1(n∈Z)型函数都是奇函数;f(x)=x2n(n∈Z)型函数及常数函数都是偶函数.

(3)设f(x),g(x)的定义域分别是D1,D2,则它们在公共定义域上,满足奇+奇=奇,偶+偶=偶,奇×奇=偶,奇×偶=奇,偶×偶=偶.

(4)若f(x)为奇函数,且在区间[a,b](a

(5)若f(x)为奇函数,且在x=0处有定义,则f(0)=0;若f(x)为偶函数,则f(x)=f(-x)=f(|x|).

2.做一做

(1)若函数f(x)=(m-2)x2+(m-1)x+2是偶函数,则f(x)(　　)

A.在[1,7]上是增函数

B.在[-7,2]上是增函数

C.在[-5,-3]上是增函数

D.在[-3,3]上是增函数

(2)若奇函数f(x)满足f(3)

A.f(-1)f(1)

C.f(-2)

(3)定义在R上的偶函数f(x),对任意x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),都有(f'(' x_1 ')-' f'(' x_2 ')' )/(x_1 '-' x_2 )<0,则f(3),f(-2),f(1)按从小到大的顺序排列为_______. 

解析:(1)因为函数f(x)=(m-2)x2+(m-1)x+2是偶函数,所以m=1.

所以f(x)=-x2+2,结合函数f(x)可知选C.

(2)因为f(x)是奇函数,

所以f(3)=-f(-3),f(1)=-f(-1).

又f(3)

所以f(-3)>f(-1).

(3)由已知条件可知f(x)在[0,+∞)内单调递减,

∴f(3)

再由偶函数性质得f(3)

答案:(1)C　(2)A　(3)f(3)

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习题课函数单调性与奇偶性的综合应用PPT，第三部分内容：探究学习

利用函数的奇偶性求解析式

例1 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=-2x2+3x+1,求:

(1)f(0);

(2)当x<0时,f(x)的解析式;

(3)f(x)在R上的解析式.

分析:(1)利用奇函数的定义求f(0);

(2)设x<0 -x>0 x>0的解析式 求f(x)

解:(1)因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-0)=-f(0),

即f(0)=0.

(2)当x<0时,-x>0,f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.

由于f(x)是奇函数,故f(x)=-f(-x),所以f(x)=2x2+3x-1,x<0.

(3)函数f(x)在R上的解析式为

f(x)={■('-' 2x^2+3x+1',' x>0',' @0',' x=0',' @2x^2+3x'-' 1',' x<0'.' )┤

反思感悟利用函数奇偶性求解析式的注意事项

1.在哪个区间求解析式,就把“x”设在哪个区间;

2.利用已知区间的解析式进行代入;

3.利用f(x)的奇偶性把f(-x)写成-f(x)或f(x),从而解出f(x);

4.定义域为R的奇函数满足f(0)=0.

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习题课函数单调性与奇偶性的综合应用PPT，第四部分内容：思想方法

化归思想在解抽象不等式中的应用

典例 已知函数f(x)的定义域为(-1,1),且满足下列条件:①f(x)为奇函数;②f(x)在定义域上单调递减;③f(1-a)+f(1-a2)<0,求实数a的取值范围.

思路点拨:要由不等式f(1-a)+f(1-a2)<0求实数a的取值范围,应利用函数f(x)的奇偶性与单调性去掉“f”,建立关于a的不等式组求解.

解:∵f(x)是奇函数,

∴f(1-a2)=-f(a2-1).

∴f(1-a)+f(1-a2)<0⇒f(1-a)<-f(1-a2)⇒f(1-a)

∵f(x)在定义域(-1,1)内是单调递减的,

∴{■(1'-' a>a^2 '-' 1',' @'-' 1<1'-' a<1',' @'-' 1

∴a的取值范围为(0,1). 

方法点睛1.本题的解答充分体现了化归思想的作用,将抽象不等式借助函数的性质转化成为具体不等式,问题从而解决.

2.当然本题中还要注意以下化归与计算等细节易错问题:

(1)由函数f(x)为奇函数,将不等式f(1-a)+f(1-a2)<0等价变形时出错;

(2)利用函数f(x)单调递减去掉“f”,建立关于a的不等式组时,因忽略函数f(x)的定义域出错;

(3)解错不等式(组)或表示a的取值范围出错.

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习题课函数单调性与奇偶性的综合应用PPT，第五部分内容：课堂练习

1.设f(x)是定义在[-6,6]上的偶函数,且f(4)>f(1),则下列各式一定成立的是(　　)

A.f(0)f(3)

C.f(2)>f(0)D.f(-1)

解析:∵f(x)是定义在[-6,6]上的偶函数,

∴f(-1)=f(1).

又f(4)>f(1),

∴f(4)>f(-1).

2.已知x>0时,f(x)=x-2 019,且知f(x)在定义域R上是奇函数,则当x<0时,f(x)的解析式是(　　)

A.f(x)=x+2 019

B.f(x)=-x+2 019

C.f(x)=-x-2 019

D.f(x)=x-2 019

解析:设x<0,则-x>0,所以f(-x)=-x-2 019.

又因为f(x)是奇函数,所以f(x)=-f(-x)=x+2 019.故选A.

3.已知f(x)=x5+ax3+bx-8,且f(-2)=10,那么f(2)=________.

解析:∵f(-2)=(-2)5+a·(-2)3+b·(-2)-8=10,

∴25+a·23+2b=-18.

∴f(2)=25+a·23+2b-8=-26.

答案:-26