《函数的单调性》函数的概念与性质PPT(第1课时函数的单调性及函数的平均变化率)

《函数的单调性》函数的概念与性质PPT(第1课时函数的单调性及函数的平均变化率)

第一部分内容：学习目标

了解函数单调性的概念，会用定义判断或证明函数的单调性

会借助图像和定义求函数的单调区间

会根据函数的单调性求参数或解参数不等式

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函数的单调性PPT，第二部分内容：自主学习

预习教材P95－P100的内容，思考以下问题：

1．增函数的概念是什么？

2．减函数的概念是什么？

3．什么是函数的单调区间？

1．增函数、减函数的概念

一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，且I⊆D：

(1)如果对任意x1，x2∈I，当x1＜x2时，都有____________，则称y＝f(x)在I上是增函数(也称在I上____________)，如图(1)所示；

(2)如果对任意x1，x2∈I，当x1＜x2时，都有_____________，则称y＝f(x)在I上是减函数(也称在I上_____________)，如图(2)所示．

两种情况下，都称函数在I上具有单调性(当I为区间时，称I为函数的_____________，也可分别称为_________________或____________________)．

■名师点拨

(1)定义中的x1，x2有以下3个特征

①任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；

②有大小，通常规定x1

③属于同一个单调区间．

(2)一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”连接．如函数y＝1x在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，却不能表述为：函数y＝1x在(－∞，0)∪(0，＋∞)上单调递减．

2．函数的平均变化率

(1)直线的斜率

一般地，给定平面直角坐标系中的任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x1≠x2时，称__________为直线AB的斜率；当x1＝x2时，称直线AB的斜率__________．

直线AB的斜率反映了直线相对于__________的倾斜程度．

若记Δx＝x2－x1，相应的Δy＝y2－y1，则当Δx≠0时，斜率可记为________．

(2)平均变化率

一般地，当x1≠x2时，称ΔfΔx＝_____________

为函数y＝f(x)在区间[x1，x2](x1x2时)上的平均变化率．

3．y＝f(x)在I上是增函数(减函数)的充要条件

一般地，若I是函数y＝f(x)的定义域的子集，对任意x1，x2∈I且x1≠x2，记y1＝f(x1)，y2＝f(x2)，ΔyΔx＝y2－y1x2－x1(即ΔfΔx＝f(x2)－f(x1)x2－x1)，则：

(1)y＝f(x)在I上是增函数的充要条件是________在I上恒成立；

(2)y＝f(x)在I上是减函数的充要条件是________在I上恒成立．

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)所有的函数在其定义域上都具有单调性．(　　)

(2)若函数y＝f(x)在区间[1，3]上是减函数，则函数y＝f(x)的单调递减区间是[1，3]．(　　)

(3)若函数f(x)为R上的减函数，则f(－3)>f(3)．(　　)

(4)若函数y＝f(x)在定义域上有f(1)

(5)若函数f(x)在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，则f(x)的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(　　)

函数y＝f(x)在区间[－2，2]上的图像如图所示，则此函数的增区间是(　　)

A．[－2，0]  B．[0，1]

C．[－2，1]  D．[－1，1]

下列函数中，在区间(0，＋∞)上是减函数的是(　　)

A．y＝－1x  B．y＝x

C．y＝x2  D．y＝1－x

若y＝(2k－1)x＋b是R上的减函数，则有(　　)

A．k>12  B．k>－12

C．k<12  D．k<－12

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函数的单调性PPT，第三部分内容：讲练互动

函数单调性的判定与证明

证明函数f(x)＝x＋4x在(2，＋∞)上是增函数．

(变问法)若本例的函数不变，试判断f(x)在(0，2)上的单调性．

利用定义证明函数单调性的步骤

[注意]作差变形是证明函数单调性的关键，且变形的结果多为几个因式乘积的形式．

1．下列四个函数在(－∞，0)上为增函数的是(　　)

①y＝|x|＋1；②y＝|x|x；③y＝－x2|x|；④y＝x＋x|x|.

A．①②　B．②③

C．③④  D．①④

2．已知函数f(x)＝2－x/x＋1，证明：函数f(x)在(－1，＋∞)上为减函数．

求函数的单调区间

画出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图像，并指出函数的单调区间．

(变条件)将本例中“y＝－x2＋2|x|＋3”改为“y＝|－x2＋2x＋3|”，如何求解？

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函数的单调性PPT，第四部分内容：达标反馈

1．函数y＝x2－6x的减区间是(　　)

A．(－∞，2]　B．[2，＋∞)

C．[3，＋∞)  D．(－∞，3]

2．设(a，b)，(c，d)都是f(x)的单调增区间，且x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1

A．f(x1)

B．f(x1)>f(x2)

C．f(x1)＝f(x2)

D．不能确定

3．若f(x)在R上是单调递减的，且f(x－2)

4．如图分别为函数y＝f(x)和y＝g(x)的图像，试写出函数y＝f(x)和y＝g(x)的单调增区间．

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